Аппроксимации с произвольной точностью: задача о рюкзаке

Когда к вам обращаются за помощью люди, столкнувшиеся с NP-сложной задачей оптимизации, они часто надеются получить алгоритм, способный выдать решение в пределах, скажем, 1 % от оптимума — или по крайней мере в относительно небольшом диапазоне от оптимума.

С этой точки зрения аппроксимирующие алгоритмы, рассматривавшиеся ранее, были довольно слабыми: решения с множителем 2 для минимума задач выбора центров и вершинного покрытия (то есть превышение оптимума может достигать 100 %).

С алгоритмом покрытия множества из раздела 10.3 дело обстоит еще хуже: его стоимость даже не лежит в пределах фиксированного постоянного множителя от возможного минимума!

В основе этого состояния дел лежит важный факт: все NP-полные задачи, как вам известно, эквивалентны в отношении разрешимости с полиномиальным временем; но в предположении P ≠ NP они существенно различаются по возможности эффективной аппроксимации их решений. В некоторых случаях ограничения аппроксимируемости могут быть доказаны.

Например, если P ≠ NP, то гарантия, предоставляемая алгоритмом выбора центров, является лучшей из возможных среди всех алгоритмов с полиномиальным временем. Аналогичным образом гарантия, предоставляемая алгоритмом покрытия множества, как бы плохо она ни выглядела, очень близка к лучшей из возможных (если только не окажется, что P = NP).

Для других задач — например, задачи о вершинном покрытии — приведенный нами аппроксимирующий алгоритм является лучшим из известных, но вопрос о том, не существуют ли алгоритмы с полиномиальным временем, обладающий лучшими гарантиями, остается открытым.

В этой книге тема нижних границ аппроксимируемости не рассматривается; хотя некоторые нижние границы такого типа доказываются не так уж сложно (например, как в задаче о выборе центров), доказательства во многих случаях перегружаются огромным количеством технических подробностей.